Polinômios

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=a_nxⁿ + a_n-1.x^n-1 + a_n-2.x^n-2 + … + a₂x² + a₁x + a₀.

Onde:
a_n, a_n-1, a_n-2, …, a₂, a₁, a₀ são números reais chamados coeficientes.
n  IN
x C (n^os complexos) é a variável.

GRAU DE UM POLINÔMIO: 

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente a_n0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n.

Exemplos:
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x⁰ é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.
b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.
c) P(x)=4x⁵+7x⁴ é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.

Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:

Se P(x)=x³+2x²+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:
P(x)= x³+2x²+x-4
P(2)= 2³+2.2²+2-4
P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).
Por exemplo, no polinômio P(x)=x²-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

Alguns exercícios resolvidos: 

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x³+4x²-ax+1, calcular o valor de a.
Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.
P(-3)=0  => (-3)³+4(-3)²-a.(-3)+1 = 0
3a = -10  =>  a=-10/3
Resposta: a = -10/3

2º) Calcular m IR para que o polinômio
P(x)=(m²-1)x³+(m+1)x²-x+4 seja:
a) do 3ºgrau      b) do 2º grau       c) do 1º grau

Resposta:
a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser diferentes de zero. Então:
m²-10  =>  m²1  => m1
m+10  => m-1
Portanto, o polinômio é do 3º grau se m1 e m-1.

b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e o coeficiente de x² diferente de zero. Então:
m²-1=0  =>  m²=1  => m=±1
m+10  => m-1
Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.

c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser iguais a zero. Então:
m²-1=0  =>  m²=1  => m=±1
m+1=0  => m=-1
Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.  

3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x³ é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).
Resolução:
Temos o polinômio: P(x)=x³+ax²+bx+c.
Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).
Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:
P(1)=0  => (1)³+a.(1)²+b(1)+c = 0  =>  1+a+b+c=0  => a+b+c=-1
P(2)=0  => (2)³+a.(2)²+b(2)+c = 0  =>  8+4a+2b+c=0  => 4a+2b+c=-8 
P(3)=30  => (3)³+a.(3)²+b(3)+c = 30  =>  27+9a+3b+c=30  => 9a+3b+c=3  

Temos um sistema de três variáveis:

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:
a=9,  b=-34,  c=24 
Portanto o polinômio em questão é P(x)= x³+9x²-34x+24.
O problema pede P(-1):
P(-1)= (-1)³+9(-1)²-34(-1)+24  =>  P(-1)=-1+9+34+24
P(-1)= 66
Resposta: P(-1)= 66

Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. 

Exemplo:  
Calcular a,b e c, sabendo-se que x²-2x+1 a(x²+x+1)+(bx+c)(x+1).
Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:  x²-2x+1 ax²+ax+a+bx²+bx+cx+c
1x²-2x+1 (a+b)x²+(a+b+c)x+(a+c)

Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
Substituindo a 1ª equação na 2ª:
1+c = -2 => c=-3. 
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:
a-3=1 => a=4.
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4+b=1 => b=-3.
Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.

Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:

1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0  

Nessa divisão:
P(x) é o dividendo.
D(x) é o divisor.
Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Se D(x) é divisor de P(x)  ?  R(x)=0

Exemplo: 
Determinar o quociente de P(x)=x⁴+x³-7x²+9x-1 por D(x)=x²+3x-2.
Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

Verificamos que:

Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x²-2x+3 por D(x)=2x-1.
Utilizando o método da chave temos:

Logo: R(x)=3
A raiz do divisor é 2x-1=0  => x=1/2.
Agora calculamos P(x) para x=1/2.
P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3
P(1/2) = 3  

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)
Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a).
Note que –b/a é a raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x²+5x-1 por x+1.
Resolução: Achamos a raiz do divisor:
x+1=0  =>  x=-1
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):
P(-1)=(-1)²+5.(-1)-1  =>  P(-1) = -5 = R(x)
Resposta: R(x) = -5.

Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x³+5x²-px+2 seja divisível por x-2.  Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.
P(2)=0  =>  2.8+5.4-2p+2=0  =>  16+20-2p+2=0  =>  p=19
Resposta: p=19.

Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r₁ e r₂.

Temos:
a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r₁  (eq. 1)
b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r₂  (eq. 2)
E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x)  (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=cx+d

Da eq.3 vem:
P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d
Fazendo:
x=a  =>  P(a) = c(a)+d   (eq. 4)
x=b  =>  P(b) = c(b)+d   (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Resolvendo o sistema obtemos:
 

Observações:
1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:
P(a)= r₁ =0
P(b)= r₂ =0
Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois: 

2ª) Generalizando, temos:
Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a₁), (x-a₂),…, (x-a_n) então P(x) é divisível pelo produto (x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n). 

Exemplo:
Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?
Resolução:
0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6   (eq. 1)
1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8   (eq. 2)
E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x)  (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=ax+b

Da eq.3 vem:
P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b
Fazendo:
x=0  =>  P(0) = a(0)+b  =>  P(0) = b     (eq. 4)
x=1  =>  P(1) = a(1)+b  =>  P(1) = a+b  (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Logo: b=6 e a=2.
Agora achamos o resto:  R(x) = ax+b = 2x+6
Resposta: R(x) = 2x+6. 

O dispositivo de Briot-Ruffini 

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x³-5x²+x-2 por (x-2).
Resolução:

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.
Resposta: Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:

1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.
2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.
3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.

Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax²+bx+c que admite as raízes r₁ e r₂ pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:

ax²+bx+c=a(x-r₁)(x-r₂)

Exemplos: 
1) Fatorar o polinômio P(x)=x²-4.
Resolução: Fazendo x²-4=0, obtemos as raízes r₁=2 e r₂=-2.
Logo: x²-4 = (x-2)(x+2).

2) Fatorar o polinômio P(x)=x²-7x+10.
Resolução: Fazendo x²-7x+10=0, obtemos as raízes r₁=5 e r₂=2.
Logo: x²-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x³-x²-x.
Resolução:
2x³-x²-x = x.(2x²-x-1)  ?  colocando x em evidência
Fazendo x.(2x²-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x²-x-1=0.
Uma das raízes já encontramos (x=0).
As outras duas saem da equação: 2x²-x-1=0 => r₁=1 e r₂=-1/2. 
Portanto, o polinômio 2x³-x²-x, na forma fatorada é:
2.x.(x-1).(x+(1/2)).  

Generalizando, se o polinômio P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ admite n raízes r₁, r₂,…, r_n, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ =  a_n(x-r₁)(x-r₂)…(x-r_n)

Observações: 
1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.
2) Uma raiz r₁ do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r₁)² e não por (x-r₁)³

Por: Renan Bardine