Radiciação é uma operação que permite a verificação da raiz de um número, ou seja, permite a verificação do valor de um número que multiplicado por ele mesmo, uma determinada quantidade de vezes, gera outro número.
Por exemplo, a raiz quadrada de 4 é 2 porque dois multiplicado por ele mesmo é quatro. Por isso, a radiciação é a operação inversa à potenciação ou exponenciação. Por definição: √a= b ⇔ a = b².
Exemplos:
√25 = 5 ⇔ 25 = 5², a raiz quadrada de 25 é 5, porque 5 x 5 = 25;
√16 = 4 ⇔ 16 = 4², a raiz quadrada de 16 é 4, porque 4 x 4 = 16;
∛8 = 2 ⇔ 8 = 2³, a raiz cúbica de 8 é 2, porque 2 x 2 x 2 = 8;
4√16 = 2 ⇔ 16 = 24, a raiz biquadrádica, ou raiz quarta, de 16 é 2, porque 2 x 2 x 2 x 2 = 16;
Notações
Na notação típica radiciação n√a = b temos: o índice n, que mostra quantas vezes o número procurado foi multiplicado por ele mesmo; o radicando a, que mostra o número do qual se pretende extrair a raiz; a raiz b, resultado da operação de radiciação, e o símbolo √, que chamamos de radical. Neste momento, uma observação se faz necessária: se o índice for igual a 2 não é necessário escrevê-lo sobre o radical. Como a Radiciação é uma operação inversa a uma potenciação, então, podemos afirmar que ela pode ser denotada como uma potência fracionária, ou seja: n√ab = ab/n, considerando sempre n≥ 2.
Propriedades
1- n√ab = ab/n, exemplo: √49 = √7² = 72/2 = 7;
2- (n√a)n = a, exemplo: (√8)² = (81/2)² = 82/2 = 8;
3- n√(a . b) = n√a . n√b, exemplo: √(2 . 4) = √2 . √4, lembrando: n√(a + b) ≠ n√a + n√b;
4- n√a/b = n√a / n√b, exemplo: ∛3/2 = ∛3 / ∛2;
5 – (n√a)m = n√am, exemplo: (√3)³ = (31/2)³ = 33/2 = √3³ ;
6 – m√n√ab = m.n√ab, exemplo: ∛√64 = 3.2√8² .
Consequências das Propriedades
- A raiz de um radicando nulo também é nula;
- A raiz de um radicando positivo também é positiva;
- A raiz de um radicando negativo em um radical de índice par não existe;
- A raiz de um radicando negativo em um radical de índice impar é negativa.
Restrição Convencional do Sinal de Raízes
No caso dos radicais com expoentes pares, todas as raízes podem ser positivas ou negativas, pois, (2)² = 4 e (-2)² = 4, por exemplo. Consequentemente, podemos considerar 5√4 = 2√4 = 5(±2) + 2(±2), por exemplo. Logo, é normal o uso do símbolo ± (mais ou menos) imediatamente à frente das raízes pares. Dito isso, é importante lembrar que essa restrição se dá apenas em radicais com índice par, para os quais nunca existirão radicandos negativos, pois ao multiplicarmos dois números com mesmo sinal, sendo eles diferentes de zero, o resultado sempre será positivo. No caso dos radicais com índice ímpar, é possível que haja radicandos negativos.
Exemplo: √25 = ± 5, porque (- 5) x (-5) = 25 ou 5 x 5 = 25; enquanto ∛125 = 5, uma vez que 5 x 5 x 5 = 125, e ∛(- 125) = – 5, pois (- 5) x (-5) x (- 5) = – 125.
Nota Histórica Sobre o Símbolo √
O primeiro registro de um sinal para representar o radical foi em um trabalho do matemático italiano Leonardo Fibonacci (1170-1250), o Geometriae de Practica, de 1220. Nicolas Chuquet (1455-1488), matemático francês do século XV. Para notar o exemplo √( 35 – √15 ) ele escreveu RU 35 m˜ R 15, no qual R designou a raiz quadrada e U mostrava que se tratava de uma raiz quadrada que englobava tudo o que seguia depois da notação.
O símbolo do radical como conhecemos hoje apareceu pela primeira vez em 1525 no trabalho de Christoff Rudolff (1499-1545). Ele empregou √ para raízes quadradas e esse símbolo que deriva de várias deformações de R (primeira letra de Radix, raiz em latim) ocorridas ao longo de diversos trabalho matemáticos que englobavam o tema, esta é a conclusão de Leonhard Euler (1707–1783) em seu trabalho chamado Differentialis de Calculi d’Institutiones (1775), entretanto, Florian Cajori (1859–1930), autor Uma Historia das Notations Mathématiques,não estava concordou com essa afirmação. Enfim, Rene Descartes (1596-1650), por volta de 1637 utiliza √ junto com a barra em cima, em sua obra chamada Geometria.
Referências Bibliográficas
COXFORD, Arthur F., PAYNE, Joseph N. Advanced Mathematics: A Preparation for Calculus – Harcourt Brace Javanovich Inc. – 1972
HAWKING, STEPHEN And God Created The Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed The History – Paperback, 2009
http://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/les-symboles-menu/133-la-racine-carree (visto em 06/07/2014 às 19:03)
Por: Anderson Andrade Fernandes
