O mínimo múltiplo comum é representado pela sigla mmc (a, b, c, …). É obtido decompondo-se os números envolvidos em fatores primos e multiplicando-se os fatores primos comuns e não-comuns elevados ao maior de seus expoentes.
Conceito de mínimo múltiplo comum
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números é o menor de seus múltiplos comuns.
Exemplo:
Calcular o mínimo múltiplo comum de 4 e 6.
Múltiplos de 4: {0, 4, 8, 12, 16, 20}.
Múltiplos de 6: {0, 6, 12, 18, 24}.
Múltiplos comuns a 4 e 6: 12, 24,…
O menor dos múltiplos comuns é 12, representado por mmc (4, 6) = 12.
Forma prática de calcular o mmc
Para calcular o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, procede-se da seguinte forma:
- Decompor os números em fatores primos.
- Expressar os números como produto de fatores primos.
- Escolher os fatores primos comuns e não comuns elevados ao maior expoente.
- O produto desses fatores é o mmc dos números.
Exemplo:
Calcular o mínimo múltiplo comum de 18 e 60.
- Decompor 18 e 60 em fatores primos.
- Fatores primos comuns: 2 e 3.
Fatores primos não-comuns: 5.
Fatores primos comuns e não-comuns elevados ao maior expoente: 22, 32 e 5.
- mmc (18, 60) = 22 • 32 • 5 = 180.
Outra forma de calcular
Outra forma prática de se obter o mmc de dois números é efetuar a decomposição simultânea de ambos em fatores primos.
Exemplos:
a) Calcular o mínimo múltiplo comum de 24 e 18.
b) Calcular o mínimo múltiplo comum de 135 e 225.
Propriedades
- Se o mínimo múltiplo comum de dois números for igual ao produto de um pelo outro, então eles não possuem nenhum divisor comum (exceto a unidade). Essa propriedade inclui o caso em que cada um deles é um número primo.
Exemplos:
6 = 2 • 3 11 = 11 • 1
mmc (6, 11) = 2 • 3 • 11 = 66 = 6 • 11
- divisores de 6: {1,2, 3, 6} e divisores de 11: {1, 11} -> Não têm divisores comuns, exceto 1.
13 = 13 • 1 7 = 7 • 1
mmc (13,7) = 91 = 13 • 7
- divisores de 13: {1, 13} e divisores de 7: {1,7} -> Não têm divisores comuns, exceto 1.
- O produto de dois números coincide com o produto de seu máximo divisor comum com o seu mínimo múltiplo comum.
a • b = mdc (a, b) • mmc (a, b)
Exemplo:
Calcular o mínimo múltiplo comum dos números 48 e 72, sabendo que o máximo divisor comum desses números é 24.
Aplicando a propriedade: mdc (48, 72) • mmc (48, 72) = 48 • 72, obtém-se:
24 • mmc (48, 72) = 48• 72
mmc (48, 72) = 144
