Matrizes

O uso de tabelas no cotidiano é essencial. Elas aparecem a todo momento, sem o uso de tabelas, ficar-se-ía restrito a um número menor de informações. Na Matemática, o estudo das tabelas recebe um nome especial: é o estudo das matrizes.

Uma matriz mXn é uma tabela composta por m linhas e n colunas que contém m • n elementos.

Representação de uma matriz

Uma matriz é representada por letras maiúsculas do alfabeto latino acompanhadas de sua ordem, ou seja, quantidade de linhas e colunas que possuí.

Exemplos

• A_3×2— Matriz representada pela letra A que possui 3 linhas e 2 colunas.
• B_4×6 — Matriz representada pela letra B que possui 4 linhas e 6 colunas.

Cada elemento de uma matriz é representado pela mesma letra utilizada na representação da matriz, porém em letra minúscula acompanhada de seu índice, que é indicado pela posição que ocupa na matriz. Primeiro, menciona-se a linha e, posteriormente, a coluna.

Exemplos:

• a₃₁— Elemento da matriz A que está localizado na terceira linha e na primeira coluna.
• b₁₅— Elemento da matriz B que está localizado na primeira linha e na quinta coluna.

De modo geral, representa-se o elemento de uma matriz como a_ij, localizado na í-ésima linha e na j-ésima coluna.

Uma matriz A_4×5 ainda pode ser representada da seguinte forma:

Genericamente, a matriz A é representada por A = (a_ij)_m×n, onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, com i, j ∈ N, ou ainda:

Matrizes especiais

Matriz nula

Uma matriz com todos os seus elementos iguais a zero é chamada matriz nula.

Exemplos:

A=é uma matriz nula de ordem 2×5 e pode ser indicada por A_2×5.

B= é uma matriz nula de ordem 4×3 e pode ser indicada por B_4×3.

Matriz linha

A matriz que possui apenas uma linha é chamada matriz linha.

Exemplos:

C = [ 1 5 8 -2 ] é uma matriz linha de ordem 1×4.
D = [-3 2] é uma matriz linha de ordem 1×2.

Matriz coluna

Já a matriz que possui apenas uma coluna é chamada matriz coluna.

Exemplos:

A = é uma matriz coluna de ordem 3×1.

R = é uma matriz coluna de ordem 5×1.

Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada quando possui a mesma quantidade de linhas e colunas.

Exemplos:

é uma matriz quadrada 2×2, ou, ainda, matriz de ordem 2. Dessa forma, podemos representá-la como A₂.

é uma matriz quadrada 4×4, ou, ainda, matriz de ordem 4.

Também pode ser representada por B₄.

Em toda matriz quadrada, os elementos cuja posição da linha e da coluna forem iguais, ou seja, i = j, formam a chamada diagonal principal. A outra diagonal, na qual os elementos satisfazem a condição i + j = n + 1, é chamada diagonal secundária.

Na matriz A₃ abaixo, indicamos as diagonais principal (ou primária) e secundária.

Matriz identidade

A matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são unitários, ou seja, iguais a 1, e os demais são nulos, ou seja, iguais a zero, recebe o nome de matriz identidade. Sua representação é sempre dada por I_n, sendo n a ordem da matriz.

Exemplos:

é uma matriz identidade de ordem 3 e pode ser representada por I₃.

é uma matriz identidade de ordem 4 e pode ser representada por I₄.

Matriz transposta

A partir de uma matriz A, é possível obter outra matriz, invertendo, ordenadamente, as linhas pelas colunas. A matriz resultante é chamada matriz transposta.

A partir de uma matriz A = (a_ij)_m×n, pode-se definir a matriz transposta de A como sendo a matriz A^T = (a^t_ij)_nXm, sendo a^t_{ij =}a_ji, ou seja, as linhas da matriz A^Tsão, ordenadamente, iguais às colunas da matriz A e as colunas da matriz A^Tsão, ordenadamente, iguais às linhas da matriz A.

Exemplos:

Igualdade entre matrizes

Duas matrizes A e B serão iguais se seus elementos de mesma posição forem iguais, zesde que as duas matrizes tenham a mesma ordem. Uma igualdade entre matrizes é apresentada como A = B.

Exemplos:

a) Dadas as matrizes , para quais valores de a, b, x e y essas matrizes serão iguais?