Quando a divisão entre dois números é exata, diz-se que existe uma relação de divisibilidade entre esses números.
Múltiplos de um número
Os múltiplos de um número contêm o número por uma quantidade exata de vezes.
Os múltiplos de um número são obtidos multiplicando esse número pelos sucessivos números naturais.
Múltiplos de a → a · n, sendo n qualquer número natural.
Conjunto dos múltiplos de a; {a · 0, a · 1, a : 2, a · 3, a · 4, …}
Os números naturais múltiplos de 2 são chamados de números pares {0, 2, 4, 6, …} e aqueles não-múltiplos de 2 são chamados de números ímpares {1, 3, 5, 7, …}.
Se as divisões:
Propriedades dos múltiplos
- Qualquer número natural é múltiplo de si mesmo.
- Qualquer número é múltiplo de 1. .
- A soma de dois múltiplos de um número é também um múltiplo desse número.
- O produto de dois múltiplos de um número é um múltiplo desse número.
Exemplos:
- Provar que 8, 14 e 16 são múltiplos de 2.
8 + 2 = 4; r = 0 → 8 é múltiplo de 2.
14 + 2 = 7; r = 0 → 14 é múltiplo de 2.
36 + 2 = 18; r = 0 → 36 é múltiplo de 2.
- Calcular os múltiplos de 3.
3 · 0 = 0, 3 · 1 = 3, 3 – 2 = 6, 3 · 3 = 9, …
O conjunto dos múltiplos de 3 é um conjunto infinito de números.
Se a # 0, os múltiplos de a são infinitos.
Todos os múltiplos de 9 são múltiplos de 3?
Como 9 = 3 · 3, todo múltiplo de 9 também é múltiplo de 3.
Divisores de um número
Os divisores de um número são aqueles que cabem nesse número uma quantidade exata de vezes.
Se as divisões:
Exemplos:
Provar que 2, 4 e 8 são divisores de 48.
48 ÷ 2 = 24; r = 0 → 2 é divisor de 48 → 2 Cabe em 48 exatamente 24 vezes.
48 ÷ 4 = 12; r = 0 → 4 é divisor de 48 → 4 cabe em 48 exatamente 12 vezes.
48 ÷ 8 = 6; r = 0 → 8 é divisor de 48 → 8 Cabe em 48 exatamente 6 vezes.
Calcular todos os divisores de 15.
- Dividir 15 por 1, 2, 3, …
De cada divisão exata, extrair os divisores de 15: o divisor e o quociente.
15 ÷ 1 = 15 → 1 e 15 São divisores de 15.
5 ÷ 2 → A divisão não é exata.
15 ÷ 3 = 5 → 3 e 5 São divisores de 15.
5 ÷ 4 → A divisão não é exata.
- A divisão termina quando o quociente da divisão é menor que o divisor.
Como o quociente da divisão 15 + 4 é 3, que é menor que o divisor (4), já se têm todos os divisores de 15.
Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15.
Propriedades dos divisores
- Todo número é divisor de si mesmo.
- O número 1 é divisor de qualquer número.
- Um número natural que é divisor de dois números também é divisor da soma destes.
- Um número natural que é divisor de outros dois também é divisor de seu produto.
